Question

（2008•青浦區一模）已知f（x）=log₂x，若2，f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），2n+4，…（n∈N^*）成等差數列．
（1）求數列{a_n}（n∈N^*）的通項公式；
（2）設g（k）是不等式log2x+log2(3

ak

-x)≥2k+3(k∈N*)整數解的個數，求g（k）；
（3）在（2）的條件下，試求一個數列{b_n}，使得

lim

n→∞

[

1

g(1)g(2)

b1+

1

g(2)g(3)

b2+…

1

g(n)g(n+1)

bn]=

1

5

．

Answer 1

分析：（1）先弄清數列的項數，然后根據等差數列的通項公式求出公差d，從而求出f（a_n）的值，即可求出數列{a_n}（n∈N^*）的通項公式；
（2）將a_k代入不等式，然后根據對數的運算性質進行化簡變形，然后因式分解得（x-2^k+1）（x-2•2^k+1）≤0，從而求出x的范圍，即可求出g（k）；
（3）將

1

g(n)g(n+1)

進行裂項得

1

g(n)g(n+1)

=

1

2n+1

(

1

2n+1+1

-

1

2n+2+1

)，可取b_n=2ⁿ⁺¹，然后驗證

lim

n→∞

[

1

g(1)g(2)

b1+

1

g(2)g(3)

b2+…

1

g(n)g(n+1)

bn]=

1

5

是否成立．

解答：解：（1）2n+4=2+（n+1）d，
∴d=2    f（a_n）=2+（n+1-1）•2=2（n+1）
即log₂a_n=2n+2，
∴a_n=2²ⁿ⁺²
（2）log2(-x2+3

22(k+1)

x)≥2k+3，
∴-x2+3

22(k+1)

x≥22k+3，
得，x²-3•2^k+1x+2^2（k+1）+1≤0，即x²-3•2^k+1x+2•（2^k+1）²≤0，
∴（x-2^k+1）（x-2•2^k+1）≤0，
∴2^k+1≤x≤2•2^k+1
則g（k）=2^k+1+1
（3）

1

g(n)g(n+1)

=

1

(2n+1+1)(2n+2+1)

=

1

2n+1

(

1

2n+1+1

-

1

2n+2+1

)，
取b_n=2ⁿ⁺¹，
則

1

g(n)g(n+1)

bn=

1

(2n+1+1)(2n+2+1)

bn=

1

2n+1+1

-

1

2n+2+1

lim

n→∞

[

1

g(1)g(2)

b1+

1

g(2)g(3)

b2+…

1

g(n)g(n+1)

bn]=

lim

n→∞

(

1

5

-

1

2n+2+1

)=

1

5

．
∴b_n=2ⁿ⁺¹

點評：本題主要考查了數列與不等式的綜合運用，同時考查了裂項求和法和計算能力，屬于中檔題．