Question

（2008•青浦區一模）在平面直角坐標系xoy中，已知圓C的圓心在第二象限，半徑為2

2

且與直線y=x相切于原點O．橢圓

x2

a2

+

y2

9

=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）圓C上是否存在點Q，使O、Q關于直線CF（C為圓心，F為橢圓右焦點）對稱，若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據圓的切線的性質可知，圓心所在直線與切線垂直，又因為圓過原點，半徑為2

2

，即可求出圓方程．
（2）又橢圓的定義可求出橢圓方程，假設圓C上存在點Q，使O、Q關于直線CF對稱，根據圓方程和橢圓方程求出直線CF的方程，設出Q點的坐標，因為O、Q關于直線CF對稱，所以直線OQ垂直于直線CF，斜率等于直線CF斜率的負倒數，且O，Q的中點在直線CF上，滿足直線CF的方程，據此，即可求Q點坐標，若能求出，則存在，若求不出，則不存在．

解答：解：（1）由題意知：圓心（-2，2），半徑2

2

，圓C：（x+2）²+（y-2）²=8
（2）由條件可知a=5，橢圓

x2

25

+

y2

9

=1，
∴F（4，0）
若存在，直線CF的方程的方程為y=-

1

3

(x-4)即x+3y-4=0
設Q（x，y），則

y x =3 x 2 + 3y 2 -4=0

，
解得

x= 4 5 y= 12 5

，所以存在點Q，Q的坐標為(

4

5

，

12

5

)．

點評：本題主要考查了圓的切線的性質，圓的標準方程的求法，以及解析幾何中的對稱性問題，屬于常規題．