Question

【題目】如圖，是邊長(zhǎng)為的正方形，是的中點(diǎn)，點(diǎn)沿著路徑在正方形邊上運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程為，的面積為.

（1）求的解析式及定義域；

（2）求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)位置.

Answer 1

【答案】（1），函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；

（2）面積的最大值為，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合.

【解析】

（1）分點(diǎn)在線段（不包括點(diǎn)、）、（不包括點(diǎn)）、（不包括點(diǎn)），即對(duì)分、、三種情況討論，計(jì)算出關(guān)于的表達(dá)式，即可得出函數(shù)的解析式，并求出該函數(shù)的定義域；

（2）分段求出函數(shù)的每支函數(shù)的最大值，比較大小后得出函數(shù)的最大值，并求出對(duì)應(yīng)的的值，即可得出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.

（1）①當(dāng)點(diǎn)在線段（不包括點(diǎn)）時(shí)，，則，的高為，

此時(shí)，；

②當(dāng)點(diǎn)在線段（不包括點(diǎn)）時(shí)，，，

的面積為，

的面積為，

直角梯形的面積為，

此時(shí)，的面積；

③當(dāng)點(diǎn)在線段（不包括點(diǎn)）時(shí)，，的高為，

此時(shí)，.

綜上所述，，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；

（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即.

因此，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的面積取到最大值.