Question

距離是幾何中的基本度量，幾何問題和一些實際問題經常涉及距離，如建筑設計中常常需要計算空間兩點間的距離.你能用兩點的坐標表示這兩點間的距離嗎？

Answer 1

解：(1)在平面直角坐標系中,已知P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),則|P₁P₂|=.

(2)在空間直角坐標系,如圖,設P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂)是空間中任意兩點,且點P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂)在xOy平面上的射影分別為M、N,那么M、N的坐標為M(x₁,y₁,0)、N(x₂,y₂,0),在xOy平面上,|MN|=.

過點P₁作P₂N的垂線,垂足為H,則|MP₁|=|z₁|,|NP₂|=|z₂|,所以|HP₂|=|z₂-z₁|.

在Rt△P₁HP₂中,|P₁H|=|MN|=,

根據勾股定理,得

|P₁P₂|==.

因此,空間中點P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂)之間的距離

|P₁P₂|=.

(3)我們來確定P₁、P₂兩點在柱坐標系中的距離公式：

根據空間點P的直角坐標(x,y,z)與柱坐標(ρ,θ,z)之間的變換公式：P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂),有可得

|P₁P₂|=.

(4)我們來確定P₁、P₂兩點在球坐標系中的距離公式：

空間點P的直角坐標(x,y,z)與球坐標(r,φ,θ)之間的變換關系為

P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂),有及.

可得|P₁P₂|=