Question

已知二階矩陣M有特征值及對應的一個特征向量，并且矩陣M對應的變換將點變換成。
（1）求矩陣M；
（2）求矩陣M的另一個特征值，及對應的一個特征向量e₂的坐標之間的關系。
（3）求直線在矩陣M的作用下的直線的方程．

Answer 1

（1）（2）（3）

（1）設M=，則=8=，故
=，故
聯立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．
（2）由（1）知，矩陣M的特征多項式為，故其另一個特征值為。設矩陣M的另一個特征向量是e₂，則M e₂=，解得。
（3）設點是直線上的任一點，其在矩陣M的變換下對應的點的坐標為，則
=，即，代入直線的方程后并化簡得,
即。