Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，側面SAB與側面SAC均為等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲證SO⊥平面ABC，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證SO與平面ABC內兩相交直線垂直，而SO⊥BC，SO⊥AO，又AO∩BO=O，滿足定理條件；
（2）以O為坐標原點，射線OB，OA分別為x軸、y軸的正半軸，建立空間直角坐標系O-xyz，求出兩半平面的法向量，求出兩法向量的夾角即可．

解答：證明：
（Ⅰ）由題設AB=AC=SB=SC=SA，連接OA，△ABC為等腰直角三角形，
所以OA=OB=OC=

2

2

SA，且AO⊥BC，
又△SBC為等腰三角形，故SO⊥BC，
且SO=

2

2

SA，從而OA²+SO²=SA²．
所以△SOA為直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O．
所以SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：
以O為坐標原點，射線OB，OA分別為x軸、y軸的正半軸，
建立如圖的空間直角坐標系O-xyz．
設B（1，0，0），則C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．SC的中點M(-

1

2

，0，

1

2

)，

MO

=(

1

2

，0，-

1

2

)，

MA

=(

1

2

，1，-

1

2

)，

SC

=(-1，0，-1)．∴

MO

•

SC

=0，

MA

•

SC

=0．
故MO⊥SC，MA⊥SC，＜

MO

，

MA

＞等于二面角A-SC-B的平面角．
cos＜

MO

，

MA

＞=

MO • MA

| MO |•| MA |

=

3

3

，
所以二面角A-SC-B的余弦值為

3

3

．

點評：本小題主要考查直線與平面垂直，以及二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．