Question

（本小題滿分12分）已知函數y=cos²x+sinxcosx+1,x∈R.
（1）求它的振幅、周期和初相；
（2）用五點法作出它的簡圖；
（3）該函數的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到的？

Answer 1

（1）y=cos²x+sinxcosx+1的振幅為A=,周期為T==π，初相為φ=.
（2）令x₁=2x+，則y=sin(2x+)+=sinx₁+，列出下表，并描出圖象如下圖所示：

x	-
x1	0		π		2π
y=sinx1	0	1	0	-1	0
y=sin(2x+)+

(3)方法一：將函數圖象依次作如下變換：
函數y=sinx的圖象函數y=sin(x+)的圖象
函數y=sin(2x+)的圖象
函數y=sin(2x+)的圖象函數y=sin(2x+)+的圖象,
即得函數y=cos²x+sinxcosx+1的圖象.
方法二：函數y=sinx的圖象函數y=sin2x的圖象函數y=sin(2x+)的圖象函數y=sin(2x+)+的
函數y=sin(2x+)+的圖象,
即得函數y=cos²x+sinxcosx+1的圖象.

本試題主要是考查了三角函數的作圖和三角函數的圖像的變換的綜合運用。
注意五點法作圖的重要性和熟練掌握，同時對于圖像的變換可以先周期再平移，也可以先平移再周期，但是平移的量不同要注意區別。
解：y=cos²x+sinxcosx+1=cos2x+sin2x+
=sin(2x+)+.
（1）y=cos²x+sinxcosx+1的振幅為A=,周期為T==π，初相為φ=.
（2）令x₁=2x+，則y=sin(2x+)+=sinx₁+，列出下表，并描出圖象如下圖所示：

x	-
x1	0		π		2π
y=sinx1	0	1	0	-1	0
y=sin(2x+)+

(3)方法一：將函數圖象依次作如下變換：
函數y=sinx的圖象函數y=sin(x+)的圖象
函數y=sin(2x+)的圖象
函數y=sin(2x+)的圖象函數y=sin(2x+)+的圖象,
即得函數y=cos²x+sinxcosx+1的圖象.
方法二：函數y=sinx的圖象函數y=sin2x的圖象函數y=sin(2x+)的圖象函數y=sin(2x+)+的
函數y=sin(2x+)+的圖象,
即得函數y=cos²x+sinxcosx+1的圖象.