Question

【題目】已知四棱錐中，底面為菱形，且，，過側面中線的一個平面與直線垂直，并與此四棱錐的面相交，交線圍成一個平面圖形.

（1）畫出這個平面圖形，并證明平面；

（2）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，即為所求，由已知可知，為中點，得，同理有，即可得出結論；

（2）連接，交于，連接，可證面，設,

求出點坐標，求出平面法向量，由（1）得面的一個法向量為，根據空間向量二面角公式，即可求解.

（1）連接，即為所求，

∵是菱形，∴，又∵，∴，

∵為中點，∴，同理，

又∵，，∴；

（2）連接，交于，連接，

∵是菱形，∴，且為中點，

∵，∴，同理，又∵，

平面，∴面，

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

設，∵，∴，各點坐標為

.

∵，∴平面的一個法向量為，

設平面的一個法向量為，

則，即，設，則，

，

設平面與平面所成的銳二面角大小為，

則，

綜上平面與平面所成的銳二面角余弦值為.