Question

【題目】已知函數，，其中a為常數，e是自然對數的底數，，曲線在其與y軸的交點處的切線記作，曲線在其與x軸的交點處的切線記作，且.

（1）求之間的距離；

（2）對于函數和的公共定義域中的任意實數，稱的值為函數和在處的偏差.求證：函數和在其公共定義域內的所有偏差都大于2.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）求出分別與軸、軸的交點坐標，求出函數的導數，根據兩條切線平行求出參數的值，即可求出切線方程，利用兩平行線的距離公式求間的距離.

（2）得到函數和的偏差為：，，利用導數分析，證明即可.

（1）函數的圖像與y軸的交點為，函數的圖像與x軸的交點為，

而，，

∵，∴，得，

又∵，∴.

∴，，

∴切線過點，斜率為；切線過點，斜率為，

，，

∴兩平行切線間的距離

（2）∵函數和的偏差為：，，

∴，易得在上是增函數，方程有且只有一個正實根，記為，則.

當時，；當時，，

∴函數在上單調遞減，在上單調遞增，

∴，

∵，，∴，

故，

即函數和在其公共定義域內的所有偏差都大于2.