Question

（2006•蚌埠二模）“神六”上天并順利返回，讓越來越多的青少年對航天技術發生了興趣．某學校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗，設計方案
如圖：航天器運行（按順時針方向）的軌跡方程為

x2

100

+

y2

25

=1，變軌（航天器運行軌跡由橢圓變為拋物線）后返回的軌跡是以y軸為
對稱軸、M（0，

64

7

）為頂點的拋物線的實線部分，降落點為D（8，0），觀測點A（4，0）、B（6，0）同時跟蹤航天器．試問：當航天器在x軸上方時，觀測點A、B測得離航天器的距離分別為

2

5

、4

時航天器發出變軌指令．

Answer 1

分析：由題意及圖形可知變軌點C實質為兩圓錐曲線的交點，利用待定系數法可以先設出方程，再利用條件建立未知數的方程進而求解，從而可得結論．

解答：解：設曲線方程為y=ax2+

64

7

，由題意可知，0=a•64+

64

7

．
∴a=-

1

7

，
∴曲線方程為y=-

1

7

x2+

64

7

．
設變軌點為C（x，y），根據題意可知，拋物線方程與橢圓方程聯立，
可得4y²-7y-36=0，y=4或y=-

9

4

（不合題意，舍去）．
∴y=4．
∴x=6或x=-6（不合題意，舍去）．
∴C點的坐標為（6，4），|AC|=2

5

，|BC|=4．
故答案為：2

5

、4．

點評：本題考查了拋物線的定義及其標準方程，考查待定系數法求解方程的思想，考查了兩方程的交點求解的方法應該把兩個方程進行聯立求解的方法，屬于中檔題．