Question

（2006•蚌埠二模）設函數f（x）=（x+1）ⁿ（n∈N），且當x=

2

時，f（x）的值為17+12

2

；g（x）=（x+a）^m（a≠1，a∈R），定義：F（x）=

C

2m+1 4n-7

f（x）-

C

2n+9 4m+1

g（x）．
（1）當a=-1時，F（x）的表達式．
（2）當x∈[0，1]時，F（x）的最大值為-65，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先確定n，m的值，進而可得函數解析式；
（2）求導函數，分類討論，確定函數的單調性，利用F（x）的最大值為-65，即可求a的值．

解答：解：∵f（x）=（x+1）ⁿ，f（

2

）=17+12

2

，∴n=4  …（2分）
又∵

4n-7≥2m+1 4m+1≥2n+9

，∴m=4，
∴F（x）=（x+1）⁴-（x+a）⁴…（4分）
（1）當a=-1時，F（x）=（x+1）⁴-（x+a）⁴=8x³+8x   …（6分）
（2）∵F（x）=（x+1）⁴-（x+a）⁴=4（1-a）x³+6（1-a²）x²+4（1-a³）x+1-a⁴
∵F′（x）=12（1-a）x²+12（1-a²）x+4（1-a³）    …（8分）
△=[12（1-a²）]²-4•12（1-a）•4（1-a³）=-48（1-a）⁴＜0       （a≠1）
①當1-a＞0時，F′（x）＞0，F（x）為增函數．
∵x∈[0，1]
∴F（1）=-65∴2 ⁴-（1+a）⁴=-65
∴1+a=±3
∴a=-4或a=2（舍去）
②當1-a＜0時，F′（x）＜0，F（x）為減函數．
∴F（0）=-65，∴1⁴-a⁴=-65
∴a=

4	66

a=-

4	66

（舍去）
綜上：a=

4	66

或a=-4   …（12分）

點評：本題考查函數解析式的確定，考查導數知識，考查函數的單調性與最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．