Question

已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意的a,b∈R,滿足f(a·b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,a=(n∈N*),b=(n∈N*);考查下列結論：

①f(0)=f(1);②f(x)為偶函數；③數列{a}為等比數列；④{b}為等差數列.

其中正確的是               .

Answer 1

①③④ 

解析:

將數列的前幾項寫出f (2)=1×2;f (2)=2×2;f (2)=3×2;f (2)=4×2,…,歸納猜想得：f (2)=n×2,從而a=2,b=n.由已知f (a·b)=af (b)+bf (a),得f (0×0)=0×f (0)+0×f (0)=0,f (1×1)=1×f (1)+1×f (1)f (1)=0.故f (0)=f (1),若取a=b=x時，得2xf (x)=f (x),即f (x)=;若取a=b=-x時，得-2xf (-x)=f (x),即f (-x)=-,故該函數為奇函數，所以①③④正確.