Question

設拋物線y=ax²（a＞0）與直線y=kx+b有兩個公共點，其橫坐標是x₁，x₂，而x₃是直線與x軸交點的橫坐標，則x₁，x₂，x₃的關系是

x₁x₂=（x₁+x₂）x₃

．

Answer 1

分析：將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系，求出兩根積與兩根和的表達式；然后將欲證等式的左邊通分，轉化為兩根積與兩根和的形式，將以上兩表達式代入得到等式左邊的值；再根據直線解析式求出與x的交點橫坐標，結論得證．

解答：解：由題意 x3=-

b

k

，聯立拋物線y=ax²（a＞0）與直線y=kx+b得ax²-kx-b=0，
∴x1 +x2=

k

a

，x1x2=-

b

a

，∴

1

x1

+

1

x2

=-

k

b

，
∴x₁x₂=x₁x₃+x₂x₃，即x₁x₂=（x₁+x₂）x₃
故答案為：x₁x₂=（x₁+x₂）x₃．

點評：此題考查了直線與圓錐曲線的關系，證明時利用一元二次方程根與系數的關系將原式轉化，得到關于k、b的表達式是證明的關鍵．