Question

設奇函數f（x）在[-1，1]上是增函數，且f（-1）=-1，若對所有的x∈[-1，1]及任意的m∈[-1，1]都滿足f（x）≤t²-2mt+1，則t的取值范圍是（　　）

• A．-2≤t≤2
• B．-

  1

  2

  ≤t≤

  1

  2

• C．t≥

  1

  2

  或t≤-

  1

  2

  或t=0
• D．t≥2，或t≤-2，或t=0

Answer 1

分析：根據奇函數f（x）在[-1，1]上是增函數，且f（-1）=-1，對所有的x∈[-1，1]及任意的m∈[-1，1]都滿足f（x）≤t²-2mt+1，將問題轉化為t²-2mt+1≥1在m∈[-1，1]時恒成立，從而求出t的范圍；

解答：解：由題意，得f（1）=-f（-1）=1．
又∵f（x）在[-1，1]上是增函數，
∴當x∈[-1，1]時，有f（x）≤f（1）=1．
∴t²-2mt+1≥1在m∈[-1，1]時恒成立．
即t²-2mt≥0在m∈[-1，1]上恒成立．
轉化為g（m）=-2tm+t²≥0，m∈[-1，1]，∴g（-1）≥0，g（1）≥0，
解得t≥2，或t≤-2或t=0；
故選D；

點評：此題主要考查函數的恒成立問題，解題的過程中用到了分類討論的思想，是一道中檔題；