Question

設奇函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，且f（1）=0，則不等式（x-1）f（x-1）＜0的解集為（　　）

A．（-1，0）∪（0，1）

B．（0，1）

C．（-1，0）

D．（0，1）∪（1，2）

Answer 1

分析：由函數奇偶性的性質，我們根據已知中奇函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，且f（1）=0，易作出符合題意的函數f（x）的草圖，
進而得到不等式（x-1）f（x-1）＜0的解集．

解答：解：若奇函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，
則函數f（x）在（-∞，0）上也為增函數，
又∵f（1）=0，∴f（-1）=0，
作出滿足題意的函數f（x）的草圖，如圖所示：

由圖知，
不等式（x-1）f（x-1）＜0
?

x-1＞0 f(x-1)＜0

或

x-1＜0 f(x-1)＞0

?

x-1＞0 0＜x-1＜1

或

x-1＜0 -1＜x-1＜0

，
解得1＜x＜2或0＜x＜1．
所以不等式（x-1）f（x-1）＜0的解集為（1，2）∪（0，1）．
故選D．

點評：本題考查的知識點是奇偶性與單調性的綜合應用，其中奇函數在對稱區間上單調性相同，是解答本題的關鍵．