Question

如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱長均為1，求點B₁到平面ABC₁的距離．

Answer 1

分析：點到面的距離計算通常采用等體積法，由圖，B₁到平面ABC₁的距離即棱錐VB1-ABC1的高，而其體積與VC1-ABB1，VC1-ABB1易求，由此知只須解出面A₁B₁C₁的面積即可．

解答：解：由題意及圖可知，S△ABB1=

1

2

，C₁到面ABB₁的距離是

3

2

  故VC1-ABB1=

1

3

×

3

2

×

1

2

=

3

12

  由正三棱柱的結構特征，C₁到線AB的距離是

12+ ( 3 2 ) 2

=

7

2

   故  S△ABC1=

1

2

×1×

7

2

=

7

4

  令B₁到平面ABC₁的距離為h，
  由VB1-ABC1=VC1-ABB1
  故

1

3

×h×

7

4

=

3

12

  解得h=

21

7

 即B₁到平面ABC₁的距離為

21

7

．

點評：本題的考點是點、線、面間的距離計算，根據幾何體的結構靈活選擇求解方法，點到面的距離計算常采用的方法是等體積法，其特征是一個幾何體積有多個角度來求體積，且其中有一個易求，而點所對的面的面積易求，如此，則適合用等體積法求解．