Question

如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長為a，側棱長為

2

2

a，D是棱A₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB₁-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接A₁B與AB₁交于E，則E為A₁B的中點，D為A₁C₁的中點，根據中位線可知BC₁∥DE，又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，根據線面平行的判定定理可知BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）過D作DF⊥A₁B₁于F，由正三棱柱的性質可知，DF⊥平面AB₁，連接EF，DE，在正△A₁B₁C₁中，求出B₁D，在直角三角形AA₁D中，求出AD，即可證得AD=B₁D，則DE⊥AB₁，由三垂線定理的逆定理可得EF⊥AB₁．則∠DEF為二面角A₁-AB₁-D的平面角，根據△B₁FE∽△B₁AA₁，即可求出∠DEF．

解答：解：（Ⅰ）連接A₁B與AB₁交于E，則E為A₁B的中點，
∵D為A₁C₁的中點，
∴DE為△A₁BC₁的中位線，
∴BC₁∥DE．
又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴BC₁∥平面AB₁D
（Ⅱ）過D作DF⊥A₁B₁于F，由正三棱柱的性質可知，DF⊥平面AB₁，連接EF，DE，在正△A₁B₁C₁中，
∴B1D=

3

2

A1B1=

3

2

a，
在直角三角形AA₁D中，
∵AD=

A A 2 1 +A1D2

=

3

2

a，
∴AD=B₁D．
∴DE⊥AB₁，
由三垂線定理的逆定理可得EF⊥AB₁．則∠DEF為二面角A₁-AB₁-D的平面角，又得DF=

3

4

a，
∵△B₁FE∽△B₁AA₁，
∴

EF

AA1

=

B1E

A1B1

?EF=

3

4

a
∴∠DEF=

π

4

．
故所求二面角A₁-AB₁-D的大小為

π

4

．

點評：本題主要考查直線與平面平行的判定，以及平面與平面垂直的判定等有關知識，二面角的求解在最近兩年高考中頻繁出現，值得重視．