Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線的切線方程為，求實數的值；

（2）若函數在區間上有兩個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）根據解析式求得導函數，設切點坐標為，結合導數的幾何意義可得方程，構造函數，并求得，由導函數求得有最小值，進而可知由唯一零點，即可代入求得的值；

（2）將解析式代入，結合零點定義化簡并分離參數得，構造函數，根據題意可知直線與曲線有兩個交點；求得并令求得極值點，列出表格判斷的單調性與極值，即可確定與有兩個交點時的取值范圍.

（1）依題意，，，

設切點為，，

故，

故，則；

令，，

故當時，，

當時，，

故當時，函數有最小值，

由于，故有唯一實數根0，

即，則；

（2）由，得.

所以“在區間上有兩個零點”等價于“直線與曲線在有兩個交點”；

由于.

由，解得，.

當變化時，與的變化情況如下表所示：

				3
		0	+	0
		極小值		極大值

所以在，上單調遞減，在上單調遞增.

又因為，，

，，

故當或時，直線與曲線在上有兩個交點，

即當或時，函數在區間上有兩個零點.