Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如果底邊正方形ABCD的邊長為AB=2，側棱AA1=

2

，則下列四個命題：
①AA₁與BC₁成45°角；
②AA₁與BC₁的距離為2；
③二面角C₁-AB-C為arctan

2

2

；
④B₁D⊥平面D₁AC．
則正確命題的序號為

②③

．

Answer 1

分析：①由題意可得：BC₁∥AD₁，所以AA₁與BC₁成的角等于AA₁與AD₁成的角．再根據AB=2，側棱AA1=

2

，可得AA₁與BC₁成不等于45°角．
②由題意可得：線段AB是AA₁與BC₁的公垂線，可得AA₁與BC₁的距離為線段AB的長度．
③連接BC₁，根據題意與二面角平面角的定義可得∠C₁BC是二面角C₁-AB-C的平面角，再利用解三角形的有關知識求出答案．
④連接AD₁，A₁D，由題中條件可得：AD₁與A₁D不垂直，進而得到B₁D與AD₁不垂直，可得B₁D與平面D₁AC不垂直．

解答：解：①由題意可得：ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，所以BC₁∥AD₁，所以AA₁與BC₁成的角等于AA₁與AD₁成的角．
又因為正方形ABCD的邊長為AB=2，側棱AA1=

2

，
所以AA₁與BC₁成不等于45°角，所以①錯誤．
②由正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的結構特征可得：線段AB是AA₁與BC₁的公垂線，所以AA₁與BC₁的距離為線段AB的長度，所以AA₁與BC₁的距離為2，所以②正確．
③連接BC₁，由正四棱柱的結構特征可得AB⊥BC₁，AB⊥BC，所以根據二面角平面角的定義可得∠C₁BC是二面角C₁-AB-C的平面角．
因為正方形ABCD的邊長為AB=2，側棱AA1=

2

，
所以tan∠C₁BC=

CC1

BC

=

2

2

，所以二面角C₁-AB-C為arctan

2

2

，所以③正確．
④連接AD₁，A₁D，因為正方形ABCD的邊長為AB=2，側棱AA1=

2

，所以AD₁與A₁D不垂直，所以根據三垂線定理可得B₁D與AD₁不垂直，所以B₁D與平面D₁AC不垂直，所以④錯誤．
故答案為：②③

點評：此題主要考查線面垂直的判斷定理與異面直線的距離，以及考查線線角與二面角的有關知識，解決異面直線的距離問題的關鍵是找出兩條異面直線的公垂線，而解決空間角的關鍵是找出空間角，其步驟是：作角，證角，求角，此題綜合性較強考查的問題很基礎，屬于中檔題．