Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，E為CC₁的中點．
求證：（1）AC₁∥平面BDE；（2）A₁E⊥平面BDE．

Answer 1

分析：（1）因為OE∥AC₁且OE?平面BDE，AC₁?平面BDE所以AC₁∥平面BDE．
（2）由B₁E⊥BE且A₁B₁⊥BE可得BE⊥平面A₁B₁E．有題意得A₁E⊥BE，A₁E⊥DE所以A₁E⊥平面BDE

解答：（1）證明：連接AC，設AC∩BD=O．由條件得ABCD為正方形，
所以O為AC中點．
∵E為CC₁中點，
∴OE∥AC₁．
∵OE?平面BDE，AC₁?平面BDE．
∴AC₁∥平面BDE．
（2）連接B₁E．設AB=a，則在△BB₁E中，BE=B₁E=

2

a，BB₁=2a．
∴BE²+B₁E²=BB₁²．
∴B₁E⊥BE．
由正四棱柱得，A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，
∴A₁B₁⊥BE．
∴BE⊥平面A₁B₁E．
∴A₁E⊥BE．
同理A₁E⊥DE．
∴A₁E⊥平面BDE．

點評：夾角線面平行問題的關鍵是在面內找一條直線與已知直線平行，而線面垂直問題的關鍵則是直線與面內的兩條相交直線都垂直．