Question

【題目】為了解某品種一批樹(shù)苗生長(zhǎng)情況，在該批樹(shù)苗中隨機(jī)抽取了容量為120的樣本，測(cè)量樹(shù)苗高度（單位：cm），經(jīng)統(tǒng)計(jì)，其高度均在區(qū)間[19，31]內(nèi)，將其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．其中高度為27 cm及以上的樹(shù)苗為優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗．

（1）求圖中a的值；

（2）已知所抽取的這120棵樹(shù)苗來(lái)自于A，B兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下列聯(lián)表：

	A試驗(yàn)區(qū)	B試驗(yàn)區(qū)	合計(jì)
優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗		20
非優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗	60
合計(jì)

將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗與A，B兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)有關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）用樣本估計(jì)總體，若從這批樹(shù)苗中隨機(jī)抽取4棵，其中優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗的棵數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

下面的臨界值表僅供參考：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：，其中．）

Answer 1

【答案】（1）0.025；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)直方圖數(shù)據(jù)，有，從而可得結(jié)果；（2）根據(jù)直方圖完成列聯(lián)表,利用公式求得，與臨界值比較即可得結(jié)果；（3）由已知，這批樹(shù)苗為優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗的概率為，且服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的期望公式可得結(jié)果.

（1）根據(jù)直方圖數(shù)據(jù)，有，

解得．

（2）根據(jù)直方圖可知，樣本中優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗有，列聯(lián)表如下：

	A試驗(yàn)區(qū)	B試驗(yàn)區(qū)	合計(jì)
優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗	10	20	30
非優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗	60	30	90
合計(jì)	70	50	120

可得．

所以，沒(méi)有99.9％的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗與A，B兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)有關(guān)系．

（3）由已知，這批樹(shù)苗為優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗的概率為，且X服從二項(xiàng)分布B(4，)，

；；

；；

．

所以X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P

故數(shù)學(xué)期望EX＝.