Question

已知函數f（x）=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)．
（1）若函數y=f（x）的導函數是偶函數，求a的值；
（2）若y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，求f（x）在區間[-2，4]上的最大值；
（3）當a≠0時，若f（x）在區間（-1，1）上不單調，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據求導公式和法則求出函數的導數，再由二次函數是偶函數的條件求出a的值；
（2）把x=1代入切線方程求出f（1），再把此點代入曲線方程及把x=1代入導函數列方程組求a和b，求出臨界點和單調區間，再求出極值和端點處的函數值，進行比較得最大值；
（3）將條件轉化為“函數f'（x）在（-1，1）存在零點”，求出f'（x）=0的根，再結合區間長度判斷出：f'（x）在（-1，1）只有一個零點，列出列出不等式進行求解．

解答：解：（1）由題意得，f'（x）=x²-2ax+a²-1，
∵f'（x）是偶函數，∴-2a=0，解得a=0，
（2）由題意知（1，f（1））在x+y-3=0上，∴f（1）=2，
又∵（1，2）在y=f（x）上，∴2=

1

3

-a+a2-1+b   ①，
由f'（1）=-1，得1-2a+a²-1=-1  ②
由①②，解得a=1，b=

8

3

，
∴f(x)=

1

3

x3-x2+

8

3

，f′(x)=x2-2x，
由f'（x）=0得x=0或x=2，
當x＜0或x＞2時，f'（x）＞0；當0＜x＜2時，f'（x）＜0；
∴函數y=f（x）的減區間為（0，2），增區間為（-∞，0），（2，+∞），
∴x=0或x=2是f（x）的極值點．
∵f(0)=

8

3

，f(2)=

4

3

，f(-2)=-4，f(4)=8，
∴f（x）在區間[-2，4]上的最大值為8．
（3）∵函數f（x）在區間（-1，1）不單調，∴以函數f'（x）在（-1，1）存在零點．
由f'（x）=0得，x²-2ax+a²-1=0，解得x=a-1或x=a+1，則區間長為2，
∴在區間（-1，1）上不可能有2個零點，即f'（x）在（-1，1）只有一個零點．
則f'（-1）f'（1）＜0，即a²（a+2）（a-2）＜0，
∵a²＞0，∴（a+2）（a-2）＜0，解得-2＜a＜2．
又由a≠0，a的取值范圍為（-2，0）∪（0，2）．

點評：本題考查了導數的綜合應用：導數的幾何意義，導數與函數的單調性、極值和最值問題，以及函數零點等，考查了轉化思想和分析、解決問題的能力．