Question

高一某班研究性小組成員為了測量永嘉中學旗桿高度收集了如下數據：（如圖）在B點測得∠ABE=θ，前進30米至C點處，測得∠ACE=2θ，再繼續前進10

3

米至點D處，測得∠ADE=4θ，則θ的大小為

π

12

，旗桿AE的高度為

15

米．

Answer 1

分析：由題意及仰角的定義，利用數形結合的思想，利用圖形中角與角的聯系及三角形求解即可．

解答：解：由已知BC=30米，CD=10

3

米，∠ABE=θ，
∠ACE=2θ，∠ADE=4θ，
在Rt△ABCE中，BE=AEcotθ，
在Rt△ACE中，CE=AEcot2θ，
∴BC=BE-CE=AE（cotθ-cot2θ）．
同理可得：CD=AE（cot2θ-cot4θ）．
∴

BC

DC

=

AE(cotθ-cot2θ)

AE(cot2θ-cot2θ)

，
即

cotθ-cot2θ

cot2θ-cot4θ

=

30

10 3

=

3

，
而cotθ-cot2θ=

cotθ

sinθ

-

cos2θ

sin2θ

=

sin2θcosθ-cos2θsinθ

sinθsin2θ

=

1

sin2θ

．
同理可得cot2θ-cot4θ=

1

sin4θ

．

cotθ-cot2θ

cot2θ-cot4θ

=

sin4θ

cos2θ

=2cos2θ=

3

，
∴cos2θ=

3

2

，結合題意可知：2θ=30°，θ=15°，
∴AE=

BC

cotθ-cot2θ

=BCsin2θ=15（米）．
故答案為：

π

12

；15．

點評：本題以實際問題為載體，考查了學生會從題意中抽取出圖形進而分析問題，還考查了學生們利用三角形解出三角形的邊與角，及二倍角的正切公式．