Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上任一點(diǎn)P到兩個焦點(diǎn)的距離的和為6，焦距為4

2

，A，B分別是橢圓的左右頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若P與A，B均不重合，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁•k₂為定值；
（Ⅲ）設(shè)C（x，y）（0＜x＜a）為橢圓上一動點(diǎn)，D為C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為S（x），設(shè)f(x)=

S2(x)

x+3

，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得，2a=6，2c=4

2

，再據(jù)b²=a²-c²求出b²的值，即可得到橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），利用斜率公式及P在橢圓上求得k₁和k₂ 的解析式，從而計算出 k₁•k₂的值．
（Ⅲ）由題意，四邊形ABCD是梯形，求出S（x），可得函數(shù)f（x）的解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，
從而求出極值．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，2a=6，∴a=3．
又2c=4

2

，∴c=2

2

，b²=a²-c²=1，故橢圓的方程為

x2

9

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），A（-3，0），B（3，0），，則

x02

9

+y02=1，即

y

2 0

=1-

x 2 0

9

，則k1=

y0

x0+3

，k2=

y0

x0-3

，即 k1•k2=

y 2 0

x 2 0 -9

=

1- x 2 0 9

x 2 0 -9

=-

1

9

，∴k₁•k₂為定值 -

1

9

．
（Ⅲ）由題意，四邊形ABCD是梯形，則 S(x)=

1

2

(6+2x)|y|，且y2=1-

x2

9

，
于是，f(x)=

S2(x)

x+3

=

(x+3)2(1- x2 9 )

x+3

=-

x3

9

-

x2

3

+x+3 （0＜x＜3），
f′(x)=-

x2

3

-

2

3

x+1．  令f'（x）=0，解之得x=1或x=-3（舍去），
當(dāng)0＜x＜1，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜x＜3，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
所以f（x）在x=1時取得極大值，也是最大值

32

9

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的極值．