Question

【題目】如圖，四棱錐E﹣ABCD的側棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側棱BF都與底面ABCD垂直，，//，.

（1）證明：//平面BCE.

（2）設平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ，求.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據線面垂直的性質定理，可得DE//BF，然后根據勾股定理計算可得BF＝DE，最后利用線面平行的判定定理，可得結果.

（2）利用建系的方法，可得平面ABF的一個法向量為，平面CDF的法向量為，然后利用向量的夾角公式以及平方關系，可得結果.

（1）因為DE⊥平面ABCD，所以DEAD，

因為AD＝4，AE＝5，DE＝3，同理BF＝3，

又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，

所以DE//BF，又BF＝DE，

所以平行四邊形BEDF，故DF//BE，

因為BE平面BCE，DF平面BCE

所以DF//平面BCE；

（2）建立如圖空間直角坐標系，

則D（0，0，0），A（4，0，0），

C（0，4，0），F（4，3，﹣3），

，

設平面CDF的法向量為，

由，令x＝3，得，

易知平面ABF的一個法向量為，

所以，

故.