Question

如圖，一個(gè)粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)，在第一秒內(nèi)，它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到（0，1），然后接著按圖所示在x軸，y軸平行方向來(lái)回運(yùn)動(dòng)（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0） …），若每秒運(yùn)動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，那么第2010秒時(shí)，這個(gè)粒子所在的位置為（ ）

A．（16，44）
B．（15，44）
C．（14，44）
D．（13，44）

Answer 1

【答案】分析：分析粒子在第一象限的運(yùn)動(dòng)規(guī)律得到數(shù)列{a_n}通項(xiàng)的遞推關(guān)系式a_n-a_n-1=2n是本題的突破口，對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的探索知：A₁，A₂，…，A_n中，奇數(shù)點(diǎn)處向下運(yùn)動(dòng)，偶數(shù)點(diǎn)處向左運(yùn)動(dòng)是解題的關(guān)鍵．
解答：解：設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)到A₁，A₂，…，A_n時(shí)所用的間分別為a₁，a₂，…，a_n，則a₁=2，a₂=6，a₃=12，a₄=20，…，a_n-a_n-1=2n，將a₂-a₁=2×2，a₃-a₂=2×3，a₄-a₃=2×4，…，a_n-a_n-1=2n相加得：a_n-a₁=2（2+3+4+…+n）=n²+n-2，∴a_n=n（n+1）．
44×45=1980，故運(yùn)動(dòng)了1980秒時(shí)它到點(diǎn)A₄₄（44，44）；又由運(yùn)動(dòng)規(guī)律知：A₁，A₂，…，A_n中，奇數(shù)點(diǎn)處向下運(yùn)動(dòng)，偶數(shù)點(diǎn)處向左運(yùn)動(dòng)．故達(dá)到A₄₄（44，44）時(shí)向左運(yùn)動(dòng)30秒到達(dá)點(diǎn)（14，44），即運(yùn)動(dòng)了2010秒．所求點(diǎn)應(yīng)為（14，44）．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)觀察，細(xì)心總結(jié)規(guī)律．