Question

如圖，一個粒子在第一象限及坐標軸上運動，在第一秒內它從原點運動到（0，1），然后它接著按圖示在x軸、y軸的平行方向來回運動，且每秒移動一個單位長度，求2006秒時，這個粒子所處的位置．

Answer 1

解：設粒子運動到A₁，A₂，…，A_n時所用的間分別為a₁，a₂，…，a_n，則a₁=2，a₂=6，a₃=12，a₄=20，…，a_n-a_n-1=2n，將a₂-a₁=2×2，a₃-a₂=2×3，a₄-a₃=2×4，…，a_n-a_n-1=2n相加得：a_n-a₁=2（2+3+4+…+n）=n²+n-2，∴a_n=n（n+1）．44×45=1980，故運動了1980秒時它到點A₄₄（44，44）；又由運動規律知：A₁，，A₂，…，A_n中，奇數點處向下運動，偶數點處向左運動．故達到A₄₄（44，44）時向左運動26秒到達點（18，44），即運動了2006秒．所求點應為（18，44）．
分析：分析粒子在第一象限的運動規律得到數列{a_n}通項的遞推關系式a_n-a_n-1=2n是本題的突破口，對運動規律的探索知：A₁，A₂，…，A_n中，奇數點處向下運動，偶數點處向左運動是解題的關鍵．
點評：本題考查數列的應用，解題時要認真審題，仔細觀察，細心總結規律．