Question

已知函數f（x）的定義域為R．若存在常數c＞0，對?x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），則稱函數f（x） 具有性質P．給定下列三個函數：①f（x）=|x|，②f（x）=sinx，③f（x）=x³-x其中，具有性質P的函數的序號是（　　）

A．①

B．③

C．①②

D．②③

Answer 1

分析：①因為f（x）=|x|不是R上的增函數，不具有具有性質P；②因為f（x）=sinx的最小正周期為2π，不是在R上的增函數，不具有性質P；③求導數可得：函數在（-

3

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，

3

3

）內遞減，要想滿足f（x+c）＞f（x-c），只須c＞

3

3

 就可說明具有性質P．

解答：解：①因為f（x）=|x|不是R上的增函數，所以不滿足f（x+c）＞f（x-c），故此函數f（x）不具有具有性質P．
 ②因為f（x）=sinx的最小正周期為2π，不是在R上的增函數，所以不滿足f（x+c）＞f（x-c），故此函數f（x）不具有性質P．
③∵f（x）=x³-x，∴f′（x）=3x²-1，當f′（x）＞0時，函數f（x）是增函數，f′（x）＜0時，函數f（x）是遞減函數．
即在（-

3

3

，

3

3

）內遞減，要想滿足f（x+c）＞f（x-c），只須c＞

3

3

 就可以了，不妨取c=1，．
所以，存在常數c=1，滿足f（x+c）＞f（x-c）．故此函數f（x）具有性質P．
故選B

點評：本題主要考查新定義，命題真假的判斷，函數的周期性和單調性的應用，屬于基礎題．