Question

已知函數(n∈N⁺)，且y=f(x)的圖象經過點(1，n²)，數列{a_n}(n∈N₊)為等差數列.(1)求數列{ a_n}的通項公式；
(2)當n為奇函數時，設,是否存在自然數m和M，使不等式m<<M恒成立，若存在，求出M-m的最小值；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1) a_n=2n-1   (2) M-m的最小值為2.

(1)據題意：f(1)=n²  即 
令n="1" 則a₀+a₁=1，a₁=1-a₀  令n="2" 則a₀+a₁+a₂=2²，a₂=4-(a₀+a₁)=4-1=3
令n="3" 則a₀+a₁+a₂+a₃=3²，a₃=9-(a₀+a₁+a₂)="9-4=5" ∵{a_n}為等差數列
∴d=a₃-a₂="5-3=2     " a₁="3-2=1  " a₀="0   " a_n=1+(n-1)·2=2n-1
(2)由(1)
n為奇數時，



相減得：

令，.
∴C_n+1≤C_n，C_n隨n增大而減小   又隨n增大而減小
∴g()為n的增函數，當n=1時，g()=
而    
∴使m<g()<M恒成立的自然m的最大值為0，M最小值為2.  M-m的最小值為2.