Question

已知成等差數(shù)列．又?jǐn)?shù)列a_n（a_n＞0）中a₁=3此數(shù)列的前n項(xiàng)的和S_n（n∈N₊）對(duì)所有大于1的正整數(shù)n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求數(shù)列a_n的第n+1項(xiàng)；
（2）若是的等比中項(xiàng)，且T_n為{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）有成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列定義得到f（x）的函數(shù)解析式，再利用S_n=f（S_n-1）得到數(shù)列a_n的關(guān)于前n項(xiàng)和式子，在有前n項(xiàng)和求出數(shù)列的第n+1項(xiàng)；
（2）由于是的等比中項(xiàng)，所以可以利用等比中項(xiàng)的定義得到數(shù)列b_n的通項(xiàng)公式，在利用裂項(xiàng)相消法可以求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
解答：解：（1）∵成等差數(shù)列，
∴∴∵S_n=f（S_n-1）（n≥2），∴
∴  
∴{}是以為公差的等差數(shù)列．
∵a₁=3∴S₁=3，∴，
∴S_n=3n²（n∈N⁺） 
∴a_n+1=S_n+1-S_n=3（n+1）²-3n²=6n+3；
（2）∵數(shù)列的等比中項(xiàng)，
∴ 
∴  
=
點(diǎn)評(píng)：此題考查了已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)，等差數(shù)列的定義及等比中項(xiàng)，還考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)的和．