Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD平面PAB

(1)求證：AB平面PCB；
(2)求異面直線AP與BC所成角的大小；
(3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值。

Answer 1

(1)  PC平面ABC，AB平面ABC，PCAB，CD平面PAB，AB平面PAB，
CD AB。又，AB 平面PCB (2)  (3)

試題分析：（1） PC平面ABC，AB平面ABC，PCAB，
CD平面PAB，AB平面PAB， CD AB。又，AB 平面PCB
（2）由（1）AB 平面PCB ，PC=AC=2， 又AB=BC， 可求得BC=
以B為原點，如圖建立空間直角坐標系，
則A（0，，0），B（0，0，0）， C（，0，0）  P（，0，2）
=（，-，2），=（，0，0） 則=+0+0=2
   異面直線AP與BC所成的角為
（3）設平面PAB的法向量為m=（x，y，z）=（0，-，0），=（，，2）
則，即，得m=（，0，-1）設平面PAC的法向量為n=（x，y，z）
=（0，0，-2），=（，-，0），則
得n=（1，1，0）cos<m,n>=  二面角C-PA-B大小的余弦值為
點評：線面垂直的判定定理：一條直線垂直于平面內兩條相交直線，則直線垂直于平面，向量法求兩直線所成角，二面角時首先找到直線的方向向量和平面的法向量，通過求解向量夾角的到相應角