Question

（本小題共16分）

已知數列各項均不為0，其前項和為，且對任意都有 （為大于1的常數），記f（n）．

（1）求；

（2）試比較與的大小（）；

（3）求證：（2n-1）f（n）≤f（1）+f（2）+…+f（2n-1） ≤[1-（）^2n-1] （n∈N^*）

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2），（）．

（3）略

【解析】解：（1） ∵，                     ①

∴．                                ②

②－①，得，即．

在①中令，可得．

∴是首項為，公比為的等比數列，．    ………　4分  

（2）．

f（n），                             

．

而，且，

∴，．

∴，（）．    …10分

（3） 由（2）知 ，

，（）．

∴當n時，．

，      

（當且僅當時取等號）．

另一方面，當n，時，

．

∵，∴．

∴,（當且僅當時取等號）．

∴．

（當且僅當時取等號）．

綜上所述，2n-1）f（n）≤f（1）+f（2）+…+f（2n-1） ≤[1-（）^2n-1] （n∈N^*）