Question

已知函數f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）（a＞0，且a≠1）
（1）求函數f（x）的定義域和值域；
（2）若函數 f（x）有最小值為-2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由

1-x＞0 x+3＞0

，得函數的定義域{x|-3＜x＜1}，再由f（x）=log_a（1-x）（x+3），能求出函數f（x）的定義域和值域．
（2）由題設知：當0＜a＜1時，函數有最小值，由此能求a的值．

解答：解：（1）由

1-x＞0 x+3＞0

，得-3＜x＜1，
∴函數的定義域{x|-3＜x＜1}，
f（x）=log_a（1-x）（x+3），
設t=（1-x）（x+3）=4-（x+1）²，
∴t≤4，又t＞0，
則0＜t≤4．
當a＞1時，y≤log_a4，值域為{y|y≤log_a4}．
當0＜a＜1時，y≥log_a4，值域為{y|y≥log_a4}．
（2）由題設及（1）知：
當0＜a＜1時，函數有最小值，
∴log_a4=-2，
解得a=

1

2

．

點評：本題考查對數函數的定義域、值域的求法和當函數值最小時對應的參數a，解題時要認真審題，仔細解答．