Question

已知函數f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如下表．

x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示：下列關于f（x）的命題：
①f（x）是周期函數；
②函數f（x）在[0，2]是減函數；
③如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；
④函數y=f（x）-a的零點個數可能為0、1、2、3、4個．
其中正確命題的序號是

②④

．

Answer 1

分析：根據周期性的定義，分析出周期函數的定義域為無窮區間（區間無最值），結合函數的定義域為閉區間，可判斷①的真假；
根據已知導函數的圖象，易分析出f（x）在[0，2]上的單調性，可判斷②的真假；
根據已知導函數的圖象，及表中幾個點的坐標，易分析出0≤t≤5，均能保證x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，進而判斷③的真假；
根據函數的單調區間分析出函數的圖象形狀，可判斷④的真假．

解答：解：∵函數f（x）的定義域為[-1，5]，但周期函數的定義域必為無窮區間，不能為閉區間，故f（x）不是周期函數，即①錯誤；
由已知中y=f′（x）的圖象可得在[0，2]上f′（x）＜0，即f（x）在[0，2]是減函數，即②正確；
由已知中y=f′（x）的圖象，及表中數據可得當x=0或x=4時，函數取最大值2，若x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值為5，即③錯誤
∵函數f（x）在定義域為[-1，5]共有兩個單調增區間，兩個單調減區間，故函數y=f（x）-a的零點個數可能為0、1、2、3、4個，即④正確
故答案為：②④

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷，利用導數研究函數的單調性，其中根據已知，分析出函數的大致形狀，利用圖象分析函數的性質是解答本題的關鍵．