Question

已知方向向量為的直線l過橢圓的焦點以及點（0，），直線l與橢圓C交于 A 、B 兩點，且A、B兩點與另一焦點圍成的三角形周長為。
（1）求橢圓C的方程
（2）過左焦點且不與x軸垂直的直線m交橢圓于M、N兩點，
（O坐標原點），求直線m的方程

Answer 1

（1）                 （2）   

本試題主要是考查了橢圓方程的求解和直線與橢圓位置關系的運用。利用橢圓的幾何性質，來表示得到a,b,c的值，從而解得方程，然后設出直線方程，聯立方程組，借助于韋達定理，運用代數的方法來表示坐標，同時借助于題目中向量的關系式，得到坐標的關系，消去坐標，得參數的關系式，進而求解得到。解：（1）  
直線與x軸交點即為橢圓的右焦點  ∴c=2
由已知⊿周長為，則4a=，即，所以
故橢圓方程為                  
（2）橢圓的左焦點為，則直線m的方程可設為
代入橢圓方程得：
設    
∵
所以，，即  
又
原點O到m的距離，則
解得