Question

(理)已知數列{a_n}中,a₁=t(t≠0且t≠1),a₂=t²,當x=t時,函數f(x)=(a_n-a_n-1)x²-(a_n+1-a_n)x(n≥2)取得極值.

(1)求證:數列{a_n+1-a_n}(n∈N^*)是等比數列;

(2)記b_n=a_nln|a_n|(n∈N^*),當t=時,數列{b_n}中是否存在最大項.若存在,是第幾項?若不存在,請說明理由.

(文)已知等比數列{x_n}各項均為不等于1的正數,數列{y_n}滿足=2(a＞0且a≠1),設y₃=18,y₆=12.

(1)求證:數列{y_n}是等差數列;

(2)若存在自然數M,使得n＞M時,x_n＞1恒成立,求M的最小值.

Answer 1

答案：(理)(1)證明:當x=t時,函數f(x)=(a_n-a_n-1)x²-(a_n+1-a_n)x(n≥2)取得極值,

∴t=,即數列{a_n+1-a_n}(n∈N^*)是等比數列.

(2)解:由(1)知a₂-a₁=t²-t,∴a_n=(a_n-a_n-1)+(a_n-1-a_n-2)+…+(a₂-a₁)+a₁=(tⁿ-t^n-1)+(t^n-1-t^n-2)+…+(t²-t)+t=tⁿ.

∴b_n=tⁿln｜tⁿ｜=ntⁿln｜t｜.

∵t=,∴b_n=n()ⁿ·ln.∴b_2k＜0,b_2k+1＞0(k∈N^*).

假設b_2k+1是數列{b_n}中的最大項,則

即≤k≤.

又∵k∈N^*,∴k=2,則b₅最大.

(文)(1)證明:∵y_n=2log_ax_n,∴y_n-y_n-1=2log_ax_n-2log_ax_n-1=2log_a.

又∵數列{x_n}為等比數列,∴2log_a為定值.∴{y_n}為等差數列.

(2)解:由(1)可得y_n=-2n+24,則x_n=a^-n+12,當a＞1時,a^-n+12＞a⁰,則n＜12,

∴不存在M∈N^*,使得n＞M時,x_n＞1恒成立;

當0＜a＜1時,a^-n+12＞a⁰,則n＞12.

∴取M=13,當n＞M時x_n＞1恒成立.∴M_min=13.