Question

(理)已知數列{a_n}的前n項和為S_n,且滿足a₁=,a_n+2S_nS_n-1=0(n≥2),

(1)判斷{}是否為等差數列?并證明你的結論;

(2)求S_n和a_n;

(3)求證:S₁²+S₂²+…+S_n²≤.

(文)數列{a_n}的前n項和S_n(n∈N^*),點(a_n,S_n)在直線y=2x-3n上.

(1)求證:數列{a_n+3}是等比數列;

(2)求數列{a_n}的通項公式;

(3)數列{a_n}中是否存在成等差數列的三項?若存在,求出一組適合條件的三項;若不存在,請說明理由.

Answer 1

答案：(理)(1)解:S₁=a₁=,∴=2.

當n≥2時,a_n=S_n-S_n-1,即S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1,

∴.故{}是以2為首項,以2為公差的等差數列.

(2)解:由(1)得=2+(n-1)·2=2n,S_n=.

當n≥2時,a_n=-2S_nS_n-1=-;

當n=1時,a₁=.∴a_n=

(3)證法一:①當n=1時,S₁²==成立.

②假設n=k時,不等式成立,即S₁²+S₂²+…+S_k²≤成立.

則當n=k+1時,S₁²+S₂²+…+S_k²+S_k+1²

即當n=k+1時,不等式成立.由①②可知對任意n∈N^*不等式成立.

證法二:S₁²+S₂²+…+S_n²

.

(文)(1)證明:由題意知S_n=2a_n-3n,∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-3(n+1)-2a_n+3n.∴a_n+1=2a_n+3.

∴a_n+1+3=2(a_n+3).∴.又a₁=S₁=2a₁-3,a₁=3,∴a₁+3=6.

∴數列{a_n+3}是以6為首項、以2為公比的等比數列.

(2)解:由(1)得a_n+3=6·2^n-1=3·2ⁿ,∴a_n=3·2ⁿ-3.

(3)解:設存在s、p、r∈N^*且s＜p＜r使a_s、a_p、a_r成等差數列,

∴2a_p=a_s+a_r.∴2(3·2^p-3)=3·2^s-3+3·2^r-3.∴2^p+1=2^s+2^r,

即2^p-s+1=1+2^r-s.(*)∵s、p、r∈N^*且s＜p＜r,∴2^p-s+1為偶數,1+2^r-s為奇數.∴(*)為矛盾等式,不成立.故這樣的三項不存在.