Question

己知斜率為1的直線l與雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)相交于B、D兩點，且BD的中點為M（1，3）．
（Ⅰ）求C的離心率；
（Ⅱ）設C的右頂點為A，右焦點為F，|DF|•|BF|=17，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由直線過點（1，3）及斜率可得直線方程，直線與雙曲線交于BD兩點的中點為（1，3），可利用直線與雙曲線消元后根據中點坐標公式找出a，b的關系式即求得離心率．
（Ⅱ）利用離心率將條件|FA||FB|=17，用含a的代數式表示，即可求得a，則A點坐標可得（1，0），由于A在x軸上所以，只要證明2AM=BD即證得．

解答：解：（Ⅰ）由題設知，l的方程為：y=x+2，代入C的方程，并化簡，
得（b²-a²）x²-4a²x-a²b²-4a²=0，
設B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x1+x2=

4a2

b2-a2

，x1x2=-

4a2+a2b2

b2-a2

，①
由M（1，3）為BD的中點知

x1+x2

2

=1．
故

1

2

×

4a2

b2-a2

=1，即b²=3a²，②
故c=

a2+b2

=2a，
∴C的離心率e=

c

a

=2．
（Ⅱ）由①②知，C的方程為：3x²-y²=3a²，A（a，0），F（2a，0），
x1+x2=2，x1x2=-

4+3a2

2

．
故不妨設x₁≤-a，x₂≥a，
|BF|=

(x1-2a)2+y12

=a-2x1，|FD|=

(x2-2a)2+y22

=2x2-a，
|BF|•|FD|=（a-2x₁）（2x₂-a）=-4x₁x₂+2a（x₁+x₂）-a²=5a²+4a+8．
又|BF|•|FD|=17，故5a²+4a+8=17．
解得a=1，或a=-

9

5

（舍去），
故|BD|=

2

|x1-x2|  =

2

(x1+x2) 2-4x1x2

=6，
連接MA，則由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
從而MA=MB=MD，且MA⊥x軸，
因此以M為圓心，MA為半徑的圓經過A、B、D三點，且在點A處與x軸相切，
所以過A、B、D三點的圓與x軸相切．

點評：本題考查了圓錐曲線、直線與圓的知識，考查學生運用所學知識解決問題的能力．