Question

 

    己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為．

   （Ⅰ）求C的離心率；

   （Ⅱ）設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，，證明：過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切．

 

 

Answer 1

【答案】

 

【命題意圖】本題主要考查雙曲線的方程及性質(zhì)，考查直線與圓的關(guān)系，既考查考生的基礎(chǔ)知識掌握情況，又可以考查綜合推理的能力.

【參考答案】

   （I）由題設(shè)知，的方程為

代入C的方程，并化簡得，

設(shè)

則①

由為B D的中點(diǎn)知故

即     ②

故

所以C的離心率

   （II）由①、②知，C的方程為：

A（a，0），F(xiàn)（2a，0），

故不妨設(shè)

           

又

故

解得（舍去）

故

連結(jié)MA，則由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，從而

MA=MB=MD，且MA⊥x軸，因此以M為圓主，MA

為半徑的圓經(jīng)地A、B、D三點(diǎn)，且在點(diǎn)A處與x軸相切，

所以過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切。     

【點(diǎn)評】高考中的解析幾何問題一般為綜合性較強(qiáng)的題目，命題者將好多考點(diǎn)以圓錐曲線為背景來考查，如向量問題、三角形問題、函數(shù)問題等等，試題的難度相對比較穩(wěn)定.