Question

已知等差數列的首項為，公差為，等比數列的首項為，公比為，.

（1）求數列與的通項公式；

（2）設第個正方形的邊長為，求前個正方形的面積之和.

（注：表示與的最小值.）

 

Answer 1

（1），；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用等差數列和等比數列的通項公式分別求出數列與的通項公式；（2）先利用作差法確定與的大小，在比較兩者的大小是，一是利用數學歸納法，方法二是利用二項式定理，確定數列的通項公式（用分段數列的形式來進行表示，然后對的取值進行分類討論，進而求出.

試題解析：（1）由于數列是以為首項，以為公差的等差數列，所以，

又因為數列是以為首項，以為公比的等比數列，因此；

2）因為，，，，，，

，，，，，，

易知當時，，

下面證明當時，不等式成立.

方法1：（i）當時，，不等式顯然成立，

（ii）假設當時，不等式成立，即，

則有，

這說明當時，不等式也成立，

綜合（i）（ii）可知，不等式對的所有整數都成立.

所以當時，；

方法2：因為當時，

，

所以當時，，所以，

則，

當時，

，

當時，

.

綜上可知，.

考點：1.等差數列與等比數列的通項公式；2.利用作差啊比較大小；3.數學歸納法；4二項式定理；5.數列求和