Question

對于函數f(x)=log3(x2-2ax+3)．
（1）若a=0，求函數的值域；
（2）若該函數的定義域為R，求實數a的取值范圍；
（3）若該函數的定義域為（-∞，1）∪（3，+∞），求實數a的值；
（4）若該函數的值域為R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=0時，f(x)=log3(x2+3)，由復合函數的單調性可得；（2）要滿足題意需△=4a²-12＜0，解不等式可得；（3）需使t=x²-2ax+3＞0的解集（-∞，1）∪（3，+∞），即方程x²-2ax+3=0的兩根為1，3，由韋達定理可得；（4）需t=x²-2ax+3能取遍所有正數，有△=4a²-12≥0，解不等式可得．

解答：解：（1）當a=0時，f(x)=log3(x2+3)，
由t=x²+3≥3和對數函數的單調性可知y=log₃t≥log₃3=1，
∴函數的值域為：[1，+∞）
（2）要使函數的定義域為R，需t=x²-2ax+3＞0恒成立，
∴△=4a²-12＜0，解得-

3

＜a＜

3

，
∴實數a的取值范圍為：（-

3

，

3

）
（3）要使函數的定義域為（-∞，1）∪（3，+∞），
需使t=x²-2ax+3＞0的解集（-∞，1）∪（3，+∞），
即方程x²-2ax+3=0的兩根為1，3，
由韋達定理可得2a=1+3，解得a=2
（4）要使函數的值域為R，需t=x²-2ax+3能取遍所有正數，
故有△=4a²-12≥0，解得a≤-

3

，或a≥

3

，
∴實數a的取值范圍為：（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）

點評：本題考查函數的值域和定義域的求解，涉及二次函數的性質以及不等式的解集，屬基礎題．