Question

已知函數f(x)=e^x-ax，其中a＞0.
（1）若對一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；
（2)在函數f(x)的圖像上去定點A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

Answer 1

（1）  （2）見解析

解：令.
當時單調遞減；當時單調遞增，故當時，取最小值
于是對一切恒成立，當且僅當.　　　　　　　　①
令則
當時，單調遞增；當時，單調遞減.
故當時，取最大值.因此，當且僅當時，①式成立.
綜上所述，的取值集合為.
（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當時，單調遞減；當時，單調遞增.故當，即
從而，又
所以因為函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，所以存在使即成立.
【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數與方程思想等數學方法.第一問利用導函數法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉化為從而得出求a的取值集合；第二問在假設存在的情況下進行推理，然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題，通過構造函數，研究這個函數的性質進行分析判斷.