Question

設函數f(x)的定義域為D，若存在x₀∈D，使得y₀=f(x₀)=x₀，則稱以(x₀,y₀)為坐標的點為函數圖象上的不動點.

(1)若函數f(x)=的圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求a、b滿足的條件;

(2)在(1)的條件下，若a=8，記函數f(x)圖象上的兩個不動點分別為A、A′，P為函數f(x)的圖象上的另一點，且其縱坐標y_P＞3，求點P到直線AA′距離的最小值及取得最小值時點P的坐標.

(3)命題“若定義在R上的奇函數f(x)的圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個”是否正確？若正確，試給予證明，并舉出一例；若不正確，試舉一反例說明.

Answer 1

解：(1)若點(x₀,y₀)是不動點，則有f(x₀)==x₀，整理得x₀²+(b-3)x₀-a=0.

    由題意知方程有兩個根，且這兩個根絕對值相等，符號相反.

    由韋達定理，得∴b=3,a＞0.

    于是f(x)=3+，由題設知a≠9，故a、b應滿足b=3,a＞0且a≠9.

(2)在(1)的條件下，當a=8時，f(x)=.

    由=x，得到兩個不動點為A(,)、A′(-,-).

    設點P(x,y)，且y_P＞3,即＞3,

    解得x＜-3.

    直線AA′的方程為y=x，設點P到直線AA′的距離為d,則

d==|x-|=()=［(-x-3)+］≥(2+6)=4.

    當且僅當(-x-3)=，即x=-4時d取到最小值，此時x=-4,y=4,點P坐標為(-4,4).

(3)命題正確.

    由f(x)為奇函數，得f(-x)=-f(x)，取x=0，得f(0)=0,(0,0)為函數的一個不動點.

    設函數f(x)除0以外還有不動點(x,x)(x≠0),則f(x)=x.又f(-x)=-f(x)=-x,故(-x,-x)也為函數不動點.

    綜上，若定義在R上的奇函數f(x)圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個.