Question

【題目】如圖，在直角梯形中，，，是上一點，，現沿將折起到的位置，并使平面，點在邊上，且滿足.

（1）證明：平面；

（2）若，，，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連接交于點，由矩形的性質及三角形的中位線定理得，再根據直線與平面平行的判定定理即可證明；（2）通過建立空間直角坐標系，利用平面的法向量即可求出二面角的大小.

解：（1）連接交于點，連接，

由已知可得四邊形是矩形，

為的中點，

又，為的中點，

，

平面，平面，

平面.

（2）由（1）及平面可知兩兩相互垂直，故以為原點，以所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，

則，，，，，

易知平面的一個法向量為，

，，

設平面的法向量為，

則由

得

令，解得.

，

由圖可知二面角為銳二面角，

二面角的大小為.