Question

已知圓C：x²+y²=12，直線l：4x+3y=25．
（1）圓C的圓心到直線l的距離為

5

；
（2）圓C上任意一點P到直線l的距離大于2的概率為

5

6

．

Answer 1

分析：（1）根據所給的圓的標準方程，求出圓心，根據點到直線的距離公式，代入有關數據做出點到直線的距離．
（2）本題是一個幾何概型，試驗發生包含的事件是從這個圓上隨機的取一個點，對應的圓上整個圓周的弧長，根據題意做出符合條件的弧長對應的圓心角是300°，根據幾何概型概率公式得到結果．

解答：解：（1）由題意知圓x²+y²=12的圓心是（0，0），
圓心到直線的距離是d=

25

32+42

=5，
（2）由題意知本題是一個幾何概型，
試驗發生包含的事件是從這個圓上隨機的取一個點，對應的圓上整個圓周的弧長，
滿足條件的事件是到直線l的距離大于2，過圓心做一條直線交直線l與一點，
根據上一問可知圓心到直線的距離是5，
在這條垂直于直線l的半徑上找到圓心的距離為3的點做半徑的垂線，如圖所示，|CD|=3
根據弦心距，半徑，弦長之間組成的直角三角形得到|CD|²+|AD|²=R²
又由R²=12，則|AD|=

3

，故∠ACD=30°，即∠ACB=60°
則符合條件的弧長對應的圓心角是300°
根據幾何概型的概率公式得到P=

300°

360°

=

5

6

故答案為：5；

5

6

點評：本題考查點到直線的距離，考查直線與圓的位置關系，考查幾何概型的概率公式．