Question

（2013•虹口區二模）已知復數z_n=a_n+b_n•i，其中a_n∈R，b_n∈R，n∈N^*，i是虛數單位，且zn+1=2zn+

.

zn

+2i，z₁=1+i．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求和：①z₁+z₂+…+z_n；②a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．

Answer 1

分析：（1）由z_n=a_n+b_n•i，取n=1后得到z₁=a₁+b₁•i，結合已知條件求出a₁，b₁．再由zn+1=2zn+

.

zn

+2i，
把z_n=a_n+b_n•i代入后由復數相等可得數列{a_n}，{b_n}分別為等比數列和等差數列，則數列{a_n}，{b_n}的通項公式可求；
（2）①直接由等比數列和等差數列的前n項和公式化簡，②由錯位相減法進行求解．

解答：解：（1）∵z₁=a₁+b₁•i=1+i，∴a₁=1，b₁=1．
由zn+1=2zn+

.

zn

+2i，得a_n+1+b_n+1•i=2（a_n+b_n•i）+（a_n-b_n•i）+2i=3a_n+（b_n+2）•i，
∴

an+1=3an bn+1=bn+2

，
∴數列{a_n}是以1為首項公比為3的等比數列，數列{b_n}是以1為首項公差為2的等差數列，
∴an=3n-1，b_n=2n-1；
（2）由（1）知an=3n-1，b_n=2n-1．
①z₁+z₂+…+z_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）•i
=（1+3¹+3²+…+3^n-1）+（1+3+5+••+2n-1）•i
=

1

2

(3n-1)+n2•i．
②令S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，Sn=1+3•3+32•5+…+3n-1•(2n-1)（Ⅰ）
將（Ⅰ）式兩邊乘以3得，3Sn=3•1+32•3+33•5+…+3n•(2n-1)（Ⅱ）
將（Ⅰ）減（Ⅱ）得-2Sn=1+2•3+2•32+2•33+…+2•3n-1-3n•(2n-1)．
∴-2Sn=-2+3n(-2n+2)，
所以Sn=(n-1)•3n+1．

點評：本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數相等的條件，考查了等差關系和等比關系的確定，考查了數列的和，由等差數列和等比數列的積構成的數列，求和的方法是錯位相減法．是中檔題．