Question

(本小題滿分11分)  已知函數，其中．

 (1) 當時，求的單調區間；

(2) 證明：對任意，在區間內存在零點．

 

Answer 1

【答案】

 

解:(1) (I) 的單調增區間是，，單調減區間是．

(II) 的單調增區間是，，單調減區間是．

 (2) (I)對任意，在區間內存在零點．

(II)對任意，在區間內存在零點．

 

【解析】本試題主要是考查了函數的零點的概念，以及函數的單調區間的求解的綜合運用。

（1）利用導數的思想，先分析函數的導數，然后確定參數t的值對于單調區間的影響，分類討論得到結論。

（2）由上可知，當時，在內單調遞減，在內單調遞增．需要討論與討論的區間的相互位置關系，然后得到結論。

解:(1) ，令，解得或．…………1分

因為，所以要分為和討論．

(I) 若,則.

當變化時，，的變化情況如下表：

	單調遞增	單調遞減	單調遞增

所以，的單調增區間是，，單調減區間是．…………3分

(II) 若,則.

當變化時，，的變化情況如下表：　　

	單調遞增	單調遞減	單調遞增

所以，的單調增區間是，，單調減區間是．…………5分

 (2) 由(Ⅱ)可知，當時，在內單調遞減，在內單調遞增．需要討論與討論的區間的相互位置關系．

(I) 當，即時，在內單調遞減，

因為，，

所以對任意，在區間內存在零點．…………7分

(II) 當，即時，在內單調遞減，在內單調遞增．

若，，

．

所以對任意，在區間內存在零點．

若，，

．

所以對任意，在區間內存在零點．

所以對任意，在區間內存在零點．

綜上，對任意，在區間內存在零點．…………11分