Question

若關于x的方程x²-x+a=0和x²-x+b=0（a≠b）的四個根組成首項為

1

4

的等差數列，則a+b的值是

31

72

．

Answer 1

分析：把x=

1

4

分別代入兩個方程求出a，b的值，分a=

3

16

或者b=

3

16

加以分析，當a=

3

16

或者b=

3

16

時題意不成立，
所以考慮四個根的另外的分布情況，然后借助于根與系數關系列式求出另外兩個根，并求出b的值，則答案可求．

解答：解：由題可知x1=

1

4

是方程的一個實根，
代入兩個方程可得a=

3

16

或者b=

3

16

．
因為題目說a不等于b，所以取a=

3

16

．
解x2-x+

3

16

=0，得x1=

1

4

，x2=

3

4

．
因為4個實根可以組成等差數列，
所有可以知道這4個實根可能是

1

4

，

2

4

，

3

4

，1或

1

4

，

3

4

，

5

4

，

7

4

．
也就是說

2

4

，1或

5

4

，

7

4

是方程x2-x+b=0的解．
然則代進去發現是錯誤的．
因此要考慮另外一種情況：
設x²-x+b=0的2實根為x₃，x₄，
4個實根組成的等差數列為

1

4

，x3，x4，

3

4

．
根據等差數列的公式可以得兩個方程，
x3-

1

4

=

3

4

-x4和2x3=

1

4

+x4，
解得x3=

5

12

，x4=

7

12

，
代入原方程驗證成立，
同時解得b=

35

144

，
也就是所a+b=

31

72

．
故答案為

31

72

．

點評：本題考查了等差數列的通項公式，考查了分類討論的數學思想方法，考查了學生靈活處理和解決問題的能力，是中檔題．