Question

我們將點P（x，y）經過矩陣的變換得到新的點P'（x'，y'）稱作一次運動，即：．
（1）若點P（3，4）經過矩陣變換后得到新的點P'，求出點P'的坐標，并指出點P'與點P的位置關系；
（2）若函數（x≥0）的圖象上的每一個點經過（1）中的矩陣A變換后，所得到圖象對應函數y=g（x），試研究在y=g（x）上是否存在定義域與值域相同的區間[m，n]，若存在，求出滿足條件的實數a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用矩陣與平面列向量的乘法公式，可求點P'的坐標，進而可判斷點P'與點P的位置關系；
（2）要使函數y=g（x）存在定義域與值域相同的區間[m，n]，只需方程當x≥0時有兩個相異實根，即方程ax-5=x²有兩個相異正根（x=0顯然不是方程的根），從而轉化函數y=a與函數（x＞0）有兩個交點，故可解．
解答：解：（1）∵，∴P'的坐標為（4，3）（2分）
顯然點P'與點P關于直線y=x成軸對稱；（4分）
（2）由（1）知y=g（x）為y=f（x）的反函數，（5分）
∴x²=ay-5，∴∴當a＞0時，（）（7分）
當a＜0時，（）（8分）
當a＞0時，函數y=g（x）在定義域內單調遞增，
要使函數y=g（x）存在定義域與值域相同的區間[m，n]，
只需方程當x≥0時有兩個相異實根，（10分）
即方程ax-5=x²有兩個相異正根（x=0顯然不是方程的根），∴（x＞0）即函數y=a與函數（x＞0）有兩個交點，
由基本不等式可知：（當且僅當時有最小值）（12分）
當a＜0時，∵函數y=g（x）的值域為[0，+∞），而，∴當a＜0時，不存在定義域與值域相同的區間[m，n]，∴a的取值范圍為．（14分）
點評：本題以矩陣為載體，考查矩陣變換，考查存在性問題的探求，關鍵是等價轉化．