Question

我們將點P（x，y）經過矩陣

a b c d

的變換得到新的點P'（x'，y'）稱作一次運動，即：

x′ y′

=

a b c d

x y

．
（1）若點P（3，4）經過矩陣A=

0 1 1 0

變換后得到新的點P'，求出點P'的坐標，并指出點P'與點P的位置關系；
（2）若函數f(x)=

1

a

x2+

5

a

（x≥0）的圖象上的每一個點經過（1）中的矩陣A變換后，所得到圖象對應函數y=g（x），試研究在y=g（x）上是否存在定義域與值域相同的區間[m，n]，若存在，求出滿足條件的實數a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用矩陣與平面列向量的乘法公式，可求點P'的坐標，進而可判斷點P'與點P的位置關系；
（2）要使函數y=g（x）存在定義域與值域相同的區間[m，n]，只需方程

ax-5

=x當x≥0時有兩個相異實根，即方程ax-5=x²有兩個相異正根（x=0顯然不是方程的根），從而轉化函數y=a與函數y=x+

5

x

（x＞0）有兩個交點，故可解．

解答：解：（1）∵

0 1 1 0

3 4

=

4 3

，∴P'的坐標為（4，3）（2分）
顯然點P'與點P關于直線y=x成軸對稱；（4分）
（2）由（1）知y=g（x）為y=f（x）的反函數，（5分）
∴x²=ay-5，∴x=

ay-5

∴當a＞0時，g(x)=

ax-5

（x≥

5

a

）（7分）
當a＜0時，g(x)=

ax-5

（x≤

5

a

）（8分）
當a＞0時，函數y=g（x）在定義域內單調遞增，
要使函數y=g（x）存在定義域與值域相同的區間[m，n]，
只需方程

ax-5

=x當x≥0時有兩個相異實根，（10分）
即方程ax-5=x²有兩個相異正根（x=0顯然不是方程的根），∴a=x+

5

x

（x＞0）即函數y=a與函數y=x+

5

x

（x＞0）有兩個交點，
由基本不等式可知：a＞2

5

（x+

5

x

≥2

5

當且僅當x=

5

時有最小值）（12分）
當a＜0時，∵函數y=g（x）的值域為[0，+∞），而x≤

5

a

＜0，∴當a＜0時，不存在定義域與值域相同的區間[m，n]，∴a的取值范圍為(2

5

，+∞)．（14分）

點評：本題以矩陣為載體，考查矩陣變換，考查存在性問題的探求，關鍵是等價轉化．